盛最多水的容器

给你 n 个非负整数 a1，a2，...，an，每个数代表坐标中的一个点  (i, ai) 。在坐标内画 n 条垂直线，垂直线 i  的两个端点分别为  (i, ai) 和 (i, 0)。找出其中的两条线，使得它们与  x  轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

说明：你不能倾斜容器，且  n  的值至少为 2。

解题思路

暴力法

考虑每对可能出现的线段组合并找出这些情况下的最大面积。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n2)，计算所有 n(n-1)/2 种高度组合的面积
• 空间：O(1)，使用恒定的额外空间

双指针法

我们先从题目中的示例开始，一步一步地解释双指针算法的过程。稍后再给出算法正确性的证明。

题目中的示例为：

[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
 ^                       ^

在初始时，左右指针分别指向数组的左右两端，它们可以容纳的水量为 min(1, 7) * 8 = 8。

此时我们需要移动一个指针。移动哪一个呢？直觉告诉我们，应该移动对应数字较小的那个指针（即此时的左指针）。这是因为，由于容纳的水量是由

两个指针指向的数字中较小值 ∗ 指针之间的距离

决定的。如果我们移动数字较大的那个指针，那么前者「两个指针指向的数字中较小值」不会增加，后者「指针之间的距离」会减小，那么这个乘积会减小。因此，我们移动数字较大的那个指针是不合理的。因此，我们移动 数字较小的那个指针。

有读者可能会产生疑问：我们可不可以同时移动两个指针？ 先别急，我们先假设 总是移动数字较小的那个指针 的思路是正确的，在走完流程之后，我们再去进行证明。

所以，我们将左指针向右移动：

[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
    ^                    ^

此时可以容纳的水量为 min(8, 7) * 7 = 49。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：

[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
    ^                 ^

此时可以容纳的水量为 min(8, 3) \* 6 = 18。由于右指针对应的数字较小，我们移动右指针：

[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
    ^              ^

此时可以容纳的水量为 min(8, 8) \* 5 = 40。两指针对应的数字相同，我们可以任意移动一个，例如左指针：

[1, 8, 6, 2, 5, 4, 8, 3, 7]
       ^           ^

此时可以容纳的水量为 min(6, 8) * 4 = 24。由于左指针对应的数字较小，我们移动左指针，并且可以发现，在这之后左指针对应的数字总是较小，因此我们会一直移动左指针，直到两个指针重合。在这期间，对应的可以容纳的水量为：min(2, 8) * 3 = 6，min(5, 8) * 2 = 10，min(4, 8) * 1 = 4。

在我们移动指针的过程中，计算到的最多可以容纳的数量为 49，即为最终的答案。

证明

为什么双指针的做法是正确的？

双指针代表了什么？

双指针代表的是 可以作为容器边界的所有位置的范围。在一开始，双指针指向数组的左右边界，表示 数组中所有的位置都可以作为容器的边界，因为我们还没有进行过任何尝试。在这之后，我们每次将 对应的数字较小的那个指针 往 另一个指针 的方向移动一个位置，就表示我们认为 这个指针不可能再作为容器的边界了。

为什么对应的数字较小的那个指针不可能再作为容器的边界了？

在上面的分析部分，我们对这个问题有了一点初步的想法。这里我们定量地进行证明。

考虑第一步，假设当前左指针和右指针指向的数分别为 x 和 y，不失一般性，我们假设 x ≤ y。同时，两个指针之间的距离为 t。那么，它们组成的容器的容量为：min(x, y) ∗ t = x ∗ t。

我们可以断定，如果我们保持左指针的位置不变，那么无论右指针在哪里，这个容器的容量都不会超过 x * t 了。注意这里右指针只能向左移动，因为 我们考虑的是第一步，也就是 指针还指向数组的左右边界的时候。

我们任意向左移动右指针，指向的数为 y1，两个指针之间的距离为 t1，那么显然有 t1 < t，并且 min(x,y1) ≤ min(x,y)：

• 如果 y1 ≤ y，那么 min(x, y1) ≤ min(x, y)；
• 如果 y1 > y，那么 min(x, y1) = x = min(x, y)。

因此有：

min(x, y[t]) ∗ t1 < min(x, y) ∗ t

即无论我们怎么移动右指针，得到的容器的容量都小于移动前容器的容量。也就是说，这个左指针对应的数不会作为容器的边界了，那么我们就可以丢弃这个位置，将左指针向右移动一个位置，此时新的左指针于原先的右指针之间的左右位置，才可能会作为容器的边界。

这样以来，我们将问题的规模减小了 1，被我们丢弃的那个位置就相当于消失了。此时的左右指针，就指向了一个新的、规模减少了的问题的数组的左右边界，因此，我们可以继续像之前 考虑第一步 那样考虑这个问题：

求出当前双指针对应的容器的容量；

对应数字较小的那个指针以后不可能作为容器的边界了，将其丢弃，并移动对应的指针。

最后的答案是什么？

答案就是我们每次以双指针为左右边界（也就是「数组」的左右边界）计算出的容量中的最大值。

const maxArea = function(height) {
  let l = 0;
  let r = height.length - 1;
  let max = 0;

  while (l < r) {
    max = Math.max(max, (r - 1) * Math.min(height[l], height[r]));
    if (height[l] < height[r]) {
      l++;
    } else {
      r--;
    }
  }

  return max;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，双指针总计最多遍历整个数组一次。
• 空间复杂度：O(1)，只需要额外的常数级别的空间。